मान लीजिए f:(a, b) rightarrow R एक दो बार अवक | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,

Vedclass · Accepted Answer

$(a, b)$ में सात मूल

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $5 - 1 = 4$ भिन्न मूल होने चाहिए।अतः,$g(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं।अब,$g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं,इसलिए $g'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4 - 1 = 3$ भिन्न मूल होने चाहिए।समीकरण $g(x) g'(x) = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $g(x) = 0$ या $g'(x) = 0$ हो।चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं और $g'(x) = 0$ के कम से कम $3$ मूल हैं,इसलिए $g(x) g'(x) = 0$ के लिए $(a, b)$ में कुल भिन्न मूलों की संख्या कम से कम $4 + 3 = 7$ है।

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यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x) = x^2 - 4$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

अंतराल $[1, 5]$ पर $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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